Berechnung eines Schwebekörper Durchflussmessers

Ein Schwebekörper-Durchflussmesser (auch Rotameter genannt) ist ein mechanisches Messgerät zur Bestimmung des Volumenstroms von Gasen und Flüssigkeiten. Die Messung basiert auf dem Kräftegleichgewicht zwischen Strömungskraft, Gewichtskraft und Auftrieb.

Kräftegleichgewicht

Ein Schwebekörper-Durchflussmesser besteht im Wesentlichen aus zwei Hauptkomponenten:

• Einem konisch geformten Rohr, das senkrecht montiert ist und dessen Querschnitt von unten nach oben zunimmt.
• Einem Schwebekörper, der sich frei im Messrohr bewegen kann.
  Die Strömung des Mediums wirkt nach oben, während die Gewichtskraft den Schwebekörper nach unten zieht.

Berechnung der einzelnen Kräfte:

• Strömungskraft F_W
  Die Strömungskraft F_W, die den Schwebekörper nach oben drückt, hängt vom Durchfluss und den aerodynamischen Eigenschaften (Form) des Schwebekörpers ab. Sie wird mit der aus der Aerodynamik bekannten Formel berechnet.
  F_W= 0,5 ⋅ ρ_R ⋅ v² ⋅ C_W ⋅ A
  ρ_R: Dichte des Mediums im Ringsspalt zwischen Schwebekörper und Messrohr [kg/m³].
      Diese kann bei kompressiblen Medien (Gasen) von der normalen Mediumsdichte (ρ_M) abweichen
      Da ρ_R schwer zu errechnen ist, wird in der Praxis oft die normale Mediumsdichte (ρ_M) verwendet.
      Der Unterschied wird durch den empirisch ermittelten C_W-Wert berücksichtigt.
  v: Strömungsgeschwindigkeit des Mediums im Ringspalt [m/s]
  C_W: Widerstandsbeiwert (abhängig von Form und Oberflächenbeschaffenheit des Schwebekörpers),
      der Oberfläche des Messrohres und der Reynolds-Zahl [dimensionslos]
  A: Querschnittsfläche des Schwebekörpers (Projektionsfläche=größter Durchmesser) [m²]
  
  
• Gewichtskraft des Schwebekörpers F_G
  F_G= ρ_S ⋅ V_S ⋅ g
  ρ_S: Dichte des Schwebekörpers [kg/m³]
  V_S: Volumen des Schwebekörpers [m³]
  g: Erdbeschleunigung 9,81 [m/s]
  
  
• Auftrieb des Schwebekörpers F_A
  F_A= ρ_M ⋅ V_S ⋅ g
  ρ_M: Dichte des Mediums [kg/m³]
  V_S: Volumen des Schwebekörpers [m³]
  g: Erdbeschleunigung 9,81 [m/s]
  
  
• Zusammenhang zwischen Ströungsgeschwindigkeit und Volumenstrom
  Die Strömungsgeschwindigkeit v steht beim Schwebekörper Durchflussmesser in direktem Zusammenhang mit dem Volumenstrom Q
  Q= v⋅A_R
  v: Strömungsgeschwindigkeit des Mediums im Ringspalt [m/s]
  A_R: Freie Querschnittsfläche zwischen Schwebekörper und Messrohr, an der Position des Schwebekörpers [m²].
  Das ist der Spalt durch den das Medium fließen kann.
  Diese Fläche ändert sich mit der Höhe des Schwebekörpers.
  

Zusammenfassung der einzelnen Kräfte:
Um den theoretischen Volumenstrom eines Schwebekörper Durchflussmessers im "Schwebezustand", also einer bestimmten Höhe im Messrohr zu bestimmen, werden die o.g. Formeln der einzeln Kräfte in die Grundgleichung eingesetzt.

F_W = F_G - F_A

Man erhält somit:

0,5 ⋅ ρ_R ⋅ v² ⋅ C_W ⋅ A = (ρ_S ⋅ V_S ⋅ g) - (ρ_M ⋅ V_S ⋅ g)

Ersetzt man noch v² durch die o.g. Formel für den Volumenstrom Q, dann erhält man nach Umstellung und Vereinfachung, die endgültige Formel zur Berechnung des Volumenstromes:

Praktische Berechnung eines Schwebekörper Durchflussmessers

Damit ein konisches Rohr mit einem Schwebekörper als Durchflussmessgerät verwendet werden kann, muss das Gerät zunächst kalibriert werden.
Die Kalibrierung erfolgt üblicherweise auf einem Prüfstand durch Vergleichsmessung mit anderen, genaueren Messgeräten; alternativ durch auswiegen oder auslitern der pro Zeiteinheit durchgeflossenen Menge an Fluid.

Die für verschiedene Höhen des Schwebekörperstandes ermittelten Durchflusswerte (Skala) gilt nur für das bei der Kalibrierung verwendete Fluid bei den dabei vorhandenen Betriebsbedingungen.
Sollen die Geräte für andere Fluide (mit andere Dichte und Viskosität) oder andere Betriebsbedingungen (Druck und Temperatur) eingesetzt werden, so muss eine neue Kalibrierung erfolgen.

Die Untersuchungen von G. Ruppel und K.-J. Umpfenbach haben gezeigt, dass es auch möglich ist eine vorhandene Skala auf andere Fluide und/oder Betriebsbedingungen umzurechnen.
Auf dieser Basis haben die verschiedenen Hersteller Berechnungsroutinen ermittelt, die dann in der VDI 3513 Blatt 1 vereinheitlicht wurden.

Berechnung einer Skala für Schwebekörper Durchflussmesser

Zur Berechnung des Volumendurchflusses wird in der Praxis die nachfolgende, aus dem Kräftegleichgewicht abgeleitete Formel verwendet.

Verwendet man bei der Berechnung statt der DIN-Einheiten die nachfolgend genannten, in der Praxis üblichen Einheiten, dann muss in die Formel noch der Korrekturfaktor (C) eingefügt werden.
Dieser enthält zur Vereinfachung der Formel neben der Einheitenkorrektur noch den konstanten Wert aus √g.

q_v = Durchflussvolumen [l/h]
α= Durchflusszahl, abhängig von der Geometrie des Schwebekörpers, dem Messrohr,
den Messstoffeigenschaften und den Strömungsbedingungen (laminar/turbulent).
Wird auch als Kalibrierfaktor bezeichnet.
C = Korrekturfaktor [11,27]
D_s = Durchmesser des Schwebekörpers an der Ablesekante (max. Durchmesser Schwebekörper) [mm]
ρ= Dichte des Messtoffes [g/cm³]
g = Fallbeschleunigung [9,81 m/s]
M_s = Masse des Schwebekörpers [g]
ρ_s = Dichte des Schwebekörpers [g/cm³]

Ruppel-Zahl

Die Ruppel-Zahl ist eine dimensionslose Kennzahl, die von der Reynoldszahl abgeleitet ist. Bei einen Schwebekörper-Durchflussmesser, der für einen bestimmten Messstoff kalibriert ist, ist die Ruppel-Zahl unabhängig von der Höhenstellung des Schwebekörpers.
Sie ist abhängig von der Dichte und Masse des Schwebekörpers und der Viskosität und Dichte des Messstoffes.

η = dynamische Viskosität des Messstoffes [mPa s]
g = Erdbeschleunigung [9,81 m/s]
M_s = Masse des Schwebekörpers [g]
ρ = Dichte des Messstoffes [g/cm³]
ρ_s= Dichte des Schwebekörpers [g/cm³]

Kennlinie oder Tabelle

Hersteller ermitteln durch Versuche für jede Kombination aus Messrohr und Schwebekörper sowie für verschiedene Messstoffe, wie die Ruppel-Zahl (Ru) von der Durchflusskennzahl (α) bei unterschiedlichen Durchmesserverhältnissen (δ) abhängt.
Die Ergebnisse werden in Kennlinienblättern oder Tabellen dokumentiert.
Einige Hersteller liefern diese Kennlinien oder Tabellen direkt mit dem Durchflussmesser aus. Damit können Kunden die für die Berechnung einer neuen Skala notwendigen α-Werte ablesen, passend zur berechneten Ruppel-Zahl und bei verschiedenen Durchmesserverhältnissen (δ).
Der Ringspalt zwischen Schwebekörper und Messkonus ist entscheidend für den Durchfluss:
Je höher der Schwebekörper steigt, desto größer wird der Ringspalt.
Das Durchmesserverhältnis δ wird als dimensionslose Zahl aus dem Höhenstand des Schwebekörpers berechnet und im Kennlinienblatt dargestellt:

d= Durchmesser Innendurchmesser Messkonus [mm]
D= Durchmesser Schwebekörper [mm]

Das Durchmesserverhältnis wird vom Hersteller einer mm-Skala, einer %-Skala oder einer bestehenden Skala zugeordnet. Manche Hersteller verwenden statt des Durchmesserverhältnis, das Öffnungsverhältnis (δ-1) als Maß für den Stand des Schwebekörpers.

Beispiel zur Umrechnung einer Skala

Moderne Berechnungsverfahren zur Skalenerstellung

Mit modernen numerischen Berechnungsverfahren lassen sich heute Skalen für Schwebekörper-Durchflussmesser vollständig rechnerisch bestimmen. Die Skalenerstellung erfolgt dabei auf Basis der Geometrie des Durchflussmessers sowie der stoffspezifischen Eigenschaften des Messmediums – ganz ohne aufwendige experimentelle Kalibrierungen.
Zum Einsatz kommt die Fluid-Struktur-Interaktionsanalyse (FSI).
Diese Methode beschreibt das gekoppelte physikalische Zusammenspiel zwischen dem Fluid (z. B. Wasser oder Luft) und der Struktur des Messsystems, bestehend aus Messrohr und Schwebekörper. Auf diese Weise kann das reale Betriebsverhalten des Durchflussmessers sehr präzise simuliert werden.
Erste Berechnungen und Grundlagenarbeiten auf diesem Gebiet wurden von Dr.-Ing. T. Chatzikonstantinou durchgeführt.
Ein Nachteil dieser Methode ist der hohe Rechenaufwand, da leistungsstarke Computersysteme erforderlich sind, um die komplexen Simulationen effizient durchführen zu können.

Vereinfachte Umrechnung einer Skala

Die Skala der Schwebekörper Durchflussmesser sind werksseitig ausgelegt für ein bestimmtes Fluid mit seinen Stoffeigenschaften (Dichte, Viskosität) und die Betriebsbedingungen (Druck, Temperatur) bei der das Gerät verwendet wird.

Die meisten Hersteller stellen dazu eine Auslegungs-Software zur Verfügung, mit denen das optimale Gerät für die Messaufgabe spezifiziert werden kann.

Beispiel Auslegungssoftware: http://sizing.heinrichs.eu/programs/schwebekoerper/de

Die häufigste Aufgabe für den Anwender besteht darin, bei veränderten Betriebsbedingungen oder bei Verwendung eines anderen Fluid, die vorhandene Skala den neuen Bedingungen anzupassen. Dabei haben Änderungen der Stoffeigenschaften und Betriebsbedingungen bei Gasen oder Flüssigkeiten unterschiedlichen Einfluss.

• Gase-Umrechnung Skala:
  Gase sind kompressibel, dh. sie verändern ihr Volumen und somit die Dichte bei Änderung der Druck- und Temperaturverhältnisse.
  Wegen der geringen Gasdichte und geringen Viskosität hat eine Änderung der Dichte und Viskosität bei unterschiedlichen Gasen meist wenig Einfluss auf die Messung.
• Flüssigkeiten-Umrechnung Skala:
  Flüssigkeiten sind normalerweis nicht-kompressibel, dh. sie verändern ihr Volumen und somit ihre Dichte bei Druck und Temperaturänderungen nicht oder nur wenig.
  Eine Änderung von Druck und Temperatur muss bei gleicher Flüssigkeit, somit normalerweise nicht berücksichtigt werden. Großen Einfluss auf die Messung haben jedoch andere Viskositäts- oder Dichtewerte bei unterschiedlichen Flüssigkeiten. Eventuell ist auch durch eine Temperaturänderung verursachte Viskositätsänderung der Flüssigkeit zu berücksichtigen.

Mit den nachfolgenden Faustformeln kann ein Faktor errechnet werden, mit dem eine vorhandenen Messskala auf neue Betriebsbedingungen bzw. Stoffeigenschaften umgerechnet werden kann.

• Faktorberechnung für Gase: Kalibrierte Skala in Normvolumen (z.B. Nm³/h)

  Neue Skalenwerte = Faktor x kalibrierte Skalenwerte
  p_kal = Absolutdruck der kalibrierten Skala, p_neu = Absolutdruck der neuen Skala, T_kal = Temperatur der kalibrierten Skala in Kelvin,
  T_neu= Temperatur der neuen Skala in Kelvin, d_kal = Dichte des Gases der kalibrierten Skala, d_neu = Dichte des neuen Gases
  Kelvin = 273 + °C

• Faktorberechnung für Gase: Kalibrierte Skala in Betriebsvolumen (z.B. m³/h)

  Neue Skalenwerte = Faktor x kalibrierte Skalenwerte
  p_kal = Absolutdruck der kalibrierten Skala, p_neu = Absolutdruck der neuen Skala, T_kal = Temperatur der kalibrierten Skala in Kelvin,
  T_neu = Temperatur der neuen Skala in Kelvin, d_kal = Dichte des Gases der kalibrierten Skala, d_neu = Dichte des neuen Gases
  Kelvin = 273 + °C

Beispiel für eine Nm³/h Luft Skala, kalibriert bei 2 bar_abs.. Neuer Betriebsdruck 8 bar_abs.