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Calcul d'un débitmètre à flotteur

Un débitmètre à flotteur (également appelé rotamètre) est un appareil de mesure mécanique permettant de déterminer le débit volumique de gaz et de liquides. La mesure repose sur l'équilibre des forces entre la force d'écoulement, la force de pesanteur et la force ascensionnelle.

Équilibre des forces

Un débitmètre à flotteur se compose essentiellement de deux éléments principaux :

• Un tube de forme conique monté verticalement et dont la section transversale augmente de bas en haut.
• Un flotteur qui peut se déplacer librement dans le tube de mesure.
  Le flux du fluide agit vers le haut, tandis que le poids tire le flotteur vers le bas.

Calcul des différentes forces :

• Force de courant F_W
  La force d'écoulement F_W qui pousse le flotteur vers le haut dépend du débit et des propriétés aérodynamiques (forme) du flotteur. Elle est calculée à l'aide de la formule connue en aérodynamique.
  F_W= 0,5 ⋅ ρ_R ⋅ v² ⋅ C_W ⋅ A
  ρ_R: Densité du fluide dans l'espace annulaire entre le flotteur et le tube de mesure [kg/m³].
      Pour les fluides compressibles (gaz), celle-ci peut différer de la densité normale du fluide (ρ_M).
      Comme ρ_R est difficile à calculer, on utilise souvent dans la pratique la densité normale du fluide (ρ_M).
      La différence est prise en compte par la valeur C_W déterminée empiriquement.
  v: Vitesse d'écoulement du fluide dans l'espace annulaire [m/s]
  C_W: Coefficient de résistance (dépendant de la forme et de la texture de la surface du flotteur),
  la surface du tube de mesure et du nombre de Reynolds [sans dimension]
  A: Section transversale du corps flottant (surface de projection = diamètre maximal) [m²]
  
  
• Poids du corps flottant F_G
  F_G= ρ_S ⋅ V_S ⋅ g
  ρ_S: Densité du flotteur [kg/m³]
  V_S: Volume du flotteur [m³]
  g: Accélération terrestre 9,81 [m/s]
  
  
• Flottabilité du flotteur F_A
  F_A= ρ_M ⋅ V_S ⋅ g
  ρ_M: Densité du fluide [kg/m³]
  V_S: Volume du flotteur [m³]
  g: Accélération terrestre 9,81 [m/s]
  
  
• Relation entre la vitesse d'écoulement et le débit volumique
  La vitesse d'écoulement v est directement liée au débit volumique Q dans le débitmètre à flotteur.
  Q= v⋅A_R
  v: Vitesse d'écoulement du fluide dans l'espace annulaire [m/s]
  A_R: Section libre entre le flotteur et le tube de mesure, à la position du flotteur [m²].
  Il s'agit de l'espace par lequel le fluide peut s'écouler.
  Cette surface varie en fonction de la hauteur du flotteur.
  

Résumé des différentes forces :
Pour déterminer le débit volumique théorique d'un débitmètre à flotteur en « état de suspension », c'est-à-dire à une certaine hauteur dans le tube de mesure, les formules ci-dessus des forces individuelles sont utilisées dans l'équation de base.

F_W = F_G - F_A

On obtient ainsi :

0,5 ⋅ ρ_R ⋅ v² ⋅ C_W ⋅ A = (ρ_S ⋅ V_S ⋅ g) - (ρ_M ⋅ V_S ⋅ g)

Si l'on remplace v² par la formule ci-dessus pour le débit volumique Q, on obtient, après conversion et simplification, la formule définitive pour calculer le débit volumique :

Calcul pratique d'un débitmètre à flotteur

Pour qu'un tube conique avec un flotteur puisse être utilisé comme débitmètre, l'appareil doit d'abord être calibré.
Le calibrage s'effectue généralement sur un banc d'essai par comparaison avec d'autres appareils de mesure plus précis ; il peut également être réalisé en pesant ou en mesurant le volume de fluide écoulé par unité de temps.

Les valeurs de débit déterminées pour différentes hauteurs du flotteur (échelle) ne s'appliquent qu'au fluide utilisé lors de l'étalonnage dans les conditions de fonctionnement existantes.
Si les appareils doivent être utilisés pour d'autres fluides (avec une densité et une viscosité différentes) ou dans d'autres conditions de fonctionnement (pression et température), un nouvel étalonnage doit être effectué.

Les recherches menées par G. Ruppel et K.-J. Umpfenbach ont montré qu'il était également possible de convertir une échelle existante à d'autres fluides et/ou conditions de fonctionnement.
Sur cette base, les différents fabricants ont déterminé des routines de calcul qui ont ensuite été harmonisées dans la norme VDI 3513 feuille 1.

Calcul d'une échelle pour les débitmètres à flotteur

Pour calculer le débit volumique, on utilise dans la pratique la formule suivante, dérivée de l'équilibre des forces.

Si, pour le calcul, on utilise à la place des unités DIN les unités courantes dans la pratique mentionnées ci-dessous, il faut alors ajouter le facteur de correction (C) dans la formule.
Pour simplifier la formule, celui-ci contient, outre la correction d'unité, la valeur constante de √g.

q_v = Débit volumique [l/h]
α= Indice de débit, dépendant de la géométrie du flotteur, du tube de mesure,
des propriétés du fluide mesuré et des conditions d'écoulement (laminaire/turbulent)
Également appelé facteur d'étalonnage.
C = facteur de correction [11,27]
D_s = Diamètre du flotteur au niveau du bord de lecture (diamètre max. du flotteur) [mm]
ρ= Densité du fluide mesuré [g/cm³]
g = Accélération due à la gravité [9,81 m/s]
M_s = Masse du flotteur [g]
ρ_s = Densité du flotteur [g/cm³]

Nombre de Ruppel

Le nombre de Ruppel est un indice sans dimension dérivé du nombre de Reynolds. Dans un débitmètre à flotteur calibré pour un fluide donné, le nombre de Ruppel est indépendant de la position en hauteur du flotteur.
Il dépend de la densité et de la masse du flotteur ainsi que de la viscosité et de la densité du fluide.

η = Viscosité dynamique du fluide mesuré [mPa s]
g = Accélération due à la gravité [9,81 m/s]
M_s = Masse du flotteur [g]
ρ = Densité du fluide mesuré [g/cm³]
ρ_s= Densité du flotteur [g/cm³]

Courbe caractéristique ou tableau

Les fabricants déterminent, à l'aide d'essais, pour chaque combinaison de tube de mesure et de flotteur ainsi que pour différents fluides de mesure, comment l'indice de Ruppel (Ru) dépend de l'indice de débit (α) pour différents rapports de diamètre (δ).
Les résultats sont consignés dans des fiches techniques ou des tableaux.
Certains fabricants fournissent ces courbes caractéristiques ou ces tableaux directement avec le débitmètre. Les clients peuvent ainsi lire les valeurs α nécessaires au calcul d'une nouvelle échelle, adaptées au nombre de Ruppel calculé et à différents rapports de diamètre (δ). L'espace annulaire entre le flotteur et le cône de mesure est déterminant pour le débit :
Plus le flotteur monte, plus l'espace annulaire augmente.
Le rapport de diamètre δ est calculé sous forme de nombre sans dimension à partir de la hauteur du flotteur et représenté dans la fiche technique :

d= diamètre intérieur du cône de mesure [mm]
D= diamètre du flotteur [mm]

Le rapport de diamètre est attribué par le fabricant à une échelle en mm, une échelle en % ou une échelle existante. Certains fabricants utilisent le rapport d'ouverture (δ-1) à la place du rapport de diamètre pour mesurer la position du flotteur.

Exemple de conversion d'une échelle

Méthodes de calcul modernes pour la création d'échelles

Grâce aux méthodes de calcul numériques modernes, il est aujourd'hui possible de déterminer entièrement par calcul les échelles des débitmètres à flotteur. La création d'échelles s'effectue sur la base de la géométrie du débitmètre et des propriétés spécifiques du fluide mesuré, sans nécessiter de calibrages expérimentaux coûteux.
On utilise ici l'analyse d'interaction fluide-structure (FSI).
Cette méthode décrit l'interaction physique couplée entre le fluide (par exemple l'eau ou l'air) et la structure du système de mesure, composée d'un tube de mesure et d'un flotteur. De cette manière, le comportement réel du débitmètre peut être simulé de manière très précise.
Les premiers calculs et travaux fondamentaux dans ce domaine ont été réalisés par Dr.-Ing. T. Chatzikonstantinou.
L'inconvénient de cette méthode réside dans la puissance de calcul nécessaire, car des systèmes informatiques performants sont requis pour pouvoir effectuer efficacement les simulations complexes.

Conversion simplifiée d'une échelle

Les échelles des débitmètres à flotteur sont réglées en usine pour un fluide spécifique avec ses propriétés (densité, viscosité) et les conditions de fonctionnement (pression, température) dans lesquelles l'appareil est utilisé.

La plupart des fabricants fournissent à cet effet un logiciel de conception permettant de spécifier l'appareil optimal pour la tâche de mesure.

Beispiel Auslegungssoftware: http://sizing.heinrichs.eu/programs/schwebekoerper/de

La tâche la plus courante pour l'utilisateur consiste à adapter l'échelle existante aux nouvelles conditions en cas de modification des conditions de fonctionnement ou d'utilisation d'un autre fluide. Les modifications des propriétés des substances et des conditions de fonctionnement ont une influence différente selon qu'il s'agit de gaz ou de liquides.

• Échelle de conversion des gaz :
  Les gaz sont compressibles, c'est-à-dire qu'ils modifient leur volume et donc leur densité lorsque les conditions de pression et de température changent.
  En raison de la faible densité et de la faible viscosité des gaz, une modification de la densité et de la viscosité de différents gaz a généralement peu d'influence sur la mesure.
• Échelle de conversion des liquides :
  Les liquides sont généralement incompressibles, c'est-à-dire qu'ils ne changent pas ou peu de volume et donc de densité en cas de variations de pression et de température.
  Une variation de pression et de température ne doit donc normalement pas être prise en compte pour un même liquide. Cependant, d'autres valeurs de viscosité ou de densité pour différents liquides ont une grande influence sur la mesure. Il peut également être nécessaire de tenir compte d'une variation de viscosité du liquide due à une variation de température.

Les règles empiriques suivantes permettent de calculer un facteur permettant de convertir une échelle de mesure existante à de nouvelles conditions de fonctionnement ou propriétés de matière.

• Calcul des facteurs pour les gaz : échelle calibrée en volume normalisé (par exemple Nm³/h)

  Nouvelles valeurs d'échelle = facteur x valeurs d'échelle calibrées
  p_kal = Pression absolue de l'échelle calibrée, p_neu = Pression absolue de la nouvelle échelle, T_kal = Température de l'échelle calibrée en kelvins,
  T_neu= Température de la nouvelle échelle en kelvins, d_kal = Densité du gaz de l'échelle calibrée, d_neu = Densité du nouveau gaz
  Kelvin = 273 + °C

• Calcul des facteurs pour les gaz : Échelle calibrée en volume de fonctionnement (par exemple m³/h)

  Nouvelles valeurs d'échelle = facteur x valeurs d'échelle calibrées
  p_kal = Pression absolue de l'échelle calibrée, p_neu = Pression absolue de la nouvelle échelle, T_kal = Température de l'échelle calibrée en kelvins,
  T_neu = Température de la nouvelle échelle en kelvins, d_kal = Densité du gaz de l'échelle calibrée, d_neu = Densité du nouveau gaz
  Kelvin = 273 + °C

Exemple d'échelle d'air en Nm³/h, calibrée à 2 bar_abs.. Nouvelle pression de service 8 bar_abs.